金融の日々

経済、金融工学(デリバティブ)や金融制度等について話題

【債券デリバティブ講義】金利モデルについて② 金利スワップモデル例

金利モデル①で、6カ月後にもらえる現金を現在時点の価格ー現在価値に割引する比率を意味する割引率(ディスカウントファクター)、6カ月後の6カ月間金利の価値(フォワード金利)を求めることができました。

 

ではここで、9カ月間のディスカウントファクター(DF(9m))や、3カ月後の6カ月間金利(6mLibor(3m))はなどどうやって求めるのでしょうか? 答えは・・・"適当にそれっぽい値を求める!" です! 「え、なにそれ?」って思う方も多いかもしらませんが、金融業者はみんな適当にそれっぽい値をそれぞれ計算しています。勿論それっぽくないモデルはダメですよ? ここではよく使うそれっぽいモデルを説明します。モデル説明の前に、これから使う記号の説明を一応しておきましょう。

DF(XX m) = XX カ月間のディスカウントファクター

6mLibor (XX m) = XX カ月間後の6カ月金利

 

(それっぽい)方法その1:フォワード金利・リニア補完方式

直接求めることができる6mLibor (6m)などのフォワード金利を線形補完します。 

6mLibor(3m) = (6mLibor (0)+6mLibor (6m)) / 2

*6mLibor (0):現在の6カ月金利

3カ月後の6カ月金利だから、ちょうど6カ月ごと現在の真ん中だろう!という考え方です。6mLibor(3m)が求まるとDF(9m)が求まります。

DF(9m) = DF(3m) × 1 / (1 + 0.5 * 6mLibor (3m)) 

いま、6カ月以下の金利情報が無いので3ヶ月金利は求まらないのですが、その話は本題からそれるので、今回は6カ月以下の金利は一定と仮定しておきましょうか。そうすると、

DF(9m) = 1 /  (1 + 0.25 * 6mLibor (0)) / (1 + 0.5 * 6mLibor (3m))  

と、6mLibor (0) と 6mLibor (3m)だけでDF(9m) を求めることができました。一般的に同区間フォワード金利が分かれば、同区間のがディスカウントファクターが計算できます、その逆も成り立ちます。次はディスカウントファクターのほうからモデル化する方式を例にあげましょう。

 

方法その2:ディスカウントファクター・対数線形補完方式

割引率はを対数を取ったうえで線形補完する方式です。

log (DF(9m)) =(log(DF(6m)) + log(DF(12m)) / 2

式を整理して、

DF(9m)  = (DF(6m) x DF(12m)) ^ 1/2

これを先ほどの式の

DF(9m) = 1 /  (1 + 0.25 * 6mLibor (0)) / (1 + 0.5 * 6mLibor (3m))  

 に代入すると、

(DF(6m) x DF(12m)) ^ 1/2 = 1 /  (1 + 0.25 * 6mLibor(0)) / (1 + 0.5 * 6mLibor(3m))  

 式を整理すると、

6mLibor(3m)=2 x ( (1 + 0.25 * 6mLibor (0)) (DF(6m) x DF(12m)) ^ 1/2  - 1 )

 

とこんな感じで 計算できました。一番シンプルな金利モデルはこの二つでしょうか。

 

ちょっと専門的な話になりますが、これらのモデルは変な悪さをすることが無く、とてもシンプルで、導入も楽なので、大抵の銀行はこういったシンプルなモデルを使うのが良いと常々思います。スプライン補完のように時々派手に変な値を出すことはないですし、一方でカーブの本数を増やしていっても安定しているので、ランニングコストがとてもやすく、金利感応度の出方もかなり素直です。これなら大卒の学生を雇うだけでモデルのメンテナンス・増築ができるので、自前のモデル開発も簡単にできます。